Математика по шагам

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Доли становятся крупнее, а само число не меняется: 18/24 и 3/4 — одна и та же величина.

5–6 класс по программе РФ

Правило

1824=18 : 624 : 6=34

Знаменатель говорит, на сколько частей поделили единицу, а числитель — сколько таких частей взяли. Если и то и другое разделить на одно число, частей станет меньше, но каждая станет во столько же раз крупнее. Величина от этого не меняется — меняется только запись.

Делить можно на любой общий делитель, но делить нужно ОБА числа и на одно и то же. Разделишь только числитель — возьмёшь меньше долей прежнего размера, и это уже другое число.

Найти общий делитель помогают признаки делимости. Оба числа чётные — делятся на 2. Сумма цифр делится на 3 — и само число делится на 3. Оканчиваются на 0 или 5 — делятся на 5. Этих трёх признаков хватает почти на любую дробь из учебника; если ни один не подошёл, попробуй разделить оба числа на 7 или на 11.

Сокращать можно в несколько приёмов: разделить на 2, потом ещё раз на 2, потом на 3. Можно сразу на наибольший общий делитель — результат тот же. По шагам надёжнее: наибольший делитель ещё надо угадать, а признак делимости виден сразу.

Дробь сокращена до конца, когда у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме единицы. Такую дробь называют несократимой, и в ответе оставляют именно её.

Разобранные примеры

Пример 1. Общий делитель находится сразу: 6/8

68
  1. 68=6 : 28 : 2=34

    Делим и числитель, и знаменатель на 2: 6 и 8 чётные — оба делятся на 2. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. У 3 и 4 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

Ответ: 34

Пример 2. Сокращаем в два приёма: 18/24

1824
  1. 1824=18 : 224 : 2=912

    Делим и числитель, и знаменатель на 2: 18 и 24 чётные — оба делятся на 2. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. Можно было разделить сразу на 6 — это наибольший общий делитель, и результат вышел бы тот же, только за один шаг.

  2. 912=9 : 312 : 3=34

    Делим и числитель, и знаменатель на 3: сумма цифр 9 — это 9, сумма цифр 12 — 3; обе делятся на 3, значит и сами числа делятся на 3. У 3 и 4 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

Ответ: 34

Пример 3. Признак по последней цифре: 25/40

2540
  1. 2540=25 : 540 : 5=58

    Делим и числитель, и знаменатель на 5: 25 и 40 оканчиваются на 5 или 0 — оба делятся на 5. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. У 5 и 8 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

Ответ: 58

Пример 4. Сокращается до целого: 24/6

246
  1. 246=24 : 26 : 2=123

    Делим и числитель, и знаменатель на 2: 24 и 6 чётные — оба делятся на 2. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. Можно было разделить сразу на 6 — это наибольший общий делитель, и результат вышел бы тот же, только за один шаг.

  2. 123=12 : 33 : 3=4

    Делим и числитель, и знаменатель на 3: сумма цифр 12 — это 3, сумма цифр 3 — 3; обе делятся на 3, значит и сами числа делятся на 3. Долей набралось ровно на 4 целые: дробной части не осталось, и записывать дробью тут уже нечего.

Ответ: 4

Пример 5. Сокращать нечего: 7/9

79
  1. 79

    У 7 и 9 общих делителей, кроме единицы, нет: 7 на 9 не делится, и ни одно число не делит оба сразу. Дробь уже несократима — так и оставляем.

Ответ: 79

Проверь себя

Сокращай до конца: в ответе должна остаться несократимая дробь. Если сокращать нечего, запиши дробь как есть.

  1. 1

    Сократи дробь

    24
    Показать ответ

    Ответ: 12

    1. 24=2 : 24 : 2=12

      Делим и числитель, и знаменатель на 2: 2 и 4 чётные — оба делятся на 2. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. У 1 и 2 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

  2. 2

    Сократи дробь

    39
    Показать ответ

    Ответ: 13

    1. 39=3 : 39 : 3=13

      Делим и числитель, и знаменатель на 3: сумма цифр 3 — это 3, сумма цифр 9 — 9; обе делятся на 3, значит и сами числа делятся на 3. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. У 1 и 3 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

  3. 3

    Сократи дробь

    1025
    Показать ответ

    Ответ: 25

    1. 1025=10 : 525 : 5=25

      Делим и числитель, и знаменатель на 5: 10 и 25 оканчиваются на 5 или 0 — оба делятся на 5. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. У 2 и 5 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

  4. 4

    Сократи дробь

    1216
    Показать ответ

    Ответ: 34

    1. 1216=12 : 216 : 2=68

      Делим и числитель, и знаменатель на 2: 12 и 16 чётные — оба делятся на 2. Значение дроби от этого не меняется — меняется только запись: доли стали крупнее, и взято их во столько же раз меньше. Можно было разделить сразу на 4 — это наибольший общий делитель, и результат вышел бы тот же, только за один шаг.

    2. 68=6 : 28 : 2=34

      Делим и числитель, и знаменатель на 2: 6 и 8 чётные — оба делятся на 2. У 3 и 4 общих делителей больше нет — дробь несократима, дальше делить не на что.

  5. 5

    Сократи дробь; если она уже несократима — запиши её как есть

    49
    Показать ответ

    Ответ: 49

    1. 49

      У 4 и 9 общих делителей, кроме единицы, нет: 4 на 9 не делится, и ни одно число не делит оба сразу. Дробь уже несократима — так и оставляем.

Свой пример

Введи свою дробь — покажем, на что она делится и почему, шаг за шагом до несократимой.

Калькулятор дробей на главной считает и остальные действия — с тем же ходом решения.

Распознавания по фото здесь нет — дробь вводится руками.

Частые ошибки

Разделили только числитель

68=38

68=34

Долей взяли вдвое меньше, а размер их остался прежним — значит и число стало вдвое меньше. Сравни: 6/8 — это больше половины, а 3/8 — меньше.

Сократили не до конца

1824=912

1824=34

9 и 12 оба делятся на 3 — значит делить ещё есть на что. Проверяй остановку не глазом, а вопросом: остался ли у числителя и знаменателя общий делитель?

Вычли общий делитель вместо деления

68=46

68=34

Сокращение — это деление. 6/8 и 3/4 равны, а 4/6 равно 2/3 — другое число. Вычитание меняет величину, деление обоих чисел на одно и то же — нет.