mathstep

Приведение дробей к общему знаменателю

Складывать, вычитать и сравнивать можно только доли одного размера. Общий знаменатель — это способ сделать доли одинаковыми, не меняя самих чисел.

5–6 класс по программе РФ

Правило

ab=a · kb · k

Умножь числитель и знаменатель на одно и то же число — дробь не изменится. Половина остаётся половиной, записана она как 1/2 или как 5/10: доли стали мельче, но их взяли во столько же раз больше.

Общий знаменатель двух дробей — число, которое делится на оба знаменателя. Подойдёт произведение, но бери наименьшее общее кратное: с ним числа в счёте меньше и сокращать в конце приходится реже. Если больший знаменатель уже делится на меньший, он и есть наименьший общий — вторую дробь трогать не надо.

Дальше у каждой дроби свой дополнительный множитель: раздели общий знаменатель на знаменатель дроби. На него умножают и числитель, и знаменатель — только числитель или только знаменатель менять нельзя, иначе получится другое число.

Разобранные примеры

Пример 1. Привести 3/4 к знаменателю 20

34=?20
  1. 20:4=5

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 20 : 4 = 5.

  2. 34=3 · 54 · 5=1520

    Домножаем на 5 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Ответ: 1520

Пример 2. Один знаменатель делится на другой: 3/4 и 5/8

34и58
  1. общий знаменатель:8

    Наименьшее число, которое делится и на 4, и на 8, — это 8. Годится и произведение 32, но оно больше в 4 раза, и числа в счёте выросли бы во столько же. У дроби 5/8 знаменатель уже такой — её не трогаем.

  2. 8:4=2

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 8 : 4 = 2.

  3. 34=3 · 24 · 2=68

    Домножаем на 2 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Ответ: 68и58

Пример 3. Знаменатели взаимно простые: 2/3 и 3/5

23и35
  1. общий знаменатель:15

    Знаменатели 3 и 5, кроме единицы, общих делителей не имеют, поэтому наименьшее общее кратное — их произведение: 15.

  2. 15:3=5

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 15 : 3 = 5.

  3. 23=2 · 53 · 5=1015

    Домножаем на 5 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  4. 15:5=3

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 15 : 5 = 3.

  5. 35=3 · 35 · 3=915

    Домножаем на 3 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Ответ: 1015и915

Пример 4. У знаменателей есть общий делитель: 5/6 и 3/8

56и38
  1. общий знаменатель:24

    Наименьшее число, которое делится и на 6, и на 8, — это 24. Годится и произведение 48, но оно больше в 2 раза, и числа в счёте выросли бы во столько же.

  2. 24:6=4

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 24 : 6 = 4.

  3. 56=5 · 46 · 4=2024

    Домножаем на 4 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  4. 24:8=3

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 24 : 8 = 3.

  5. 38=3 · 38 · 3=924

    Домножаем на 3 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Ответ: 2024и924

Пример 5. Три дроби сразу: 1/2, 2/3 и 5/9

12,23и59
  1. общий знаменатель:18

    Наименьшее число, которое делится на 2, 3, 9, — это 18.

  2. 18:2=9

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 18 : 2 = 9.

  3. 12=1 · 92 · 9=918

    Домножаем на 9 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  4. 18:3=6

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 18 : 3 = 6.

  5. 23=2 · 63 · 6=1218

    Домножаем на 6 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  6. 18:9=2

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 18 : 9 = 2.

  7. 59=5 · 29 · 2=1018

    Домножаем на 2 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Ответ: 918,1218и1018

Пример 6. Что больше: 5/8 или 7/12

58и712
  1. общий знаменатель:24

    Наименьшее число, которое делится и на 8, и на 12, — это 24. Годится и произведение 96, но оно больше в 4 раза, и числа в счёте выросли бы во столько же.

  2. 24:8=3

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 24 : 8 = 3.

  3. 58=5 · 38 · 3=1524

    Домножаем на 3 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  4. 24:12=2

    Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 24 : 12 = 2.

  5. 712=7 · 212 · 2=1424

    Домножаем на 2 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  6. 1524>1424

    Доли теперь одного размера, поэтому сравниваются числители: 15 больше 14. Пока знаменатели разные, сравнивать числители нельзя — 5 меньше 7, а дробь при этом больше.

Ответ: 58>712

Проверь себя

Вписывай дробь целиком: сначала числитель, потом знаменатель. Знаменатель тоже нужен — в нём ошибаются не реже, чем в числителе.

  1. 1
    23=?6
    Показать ответ

    Ответ: 46

    1. 6:3=2

      Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 6 : 3 = 2.

    2. 23=2 · 23 · 2=46

      Домножаем на 2 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  2. 2
    12=?10
    Показать ответ

    Ответ: 510

    1. 10:2=5

      Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 10 : 2 = 5.

    2. 12=1 · 52 · 5=510

      Домножаем на 5 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  3. 3
    34=?28
    Показать ответ

    Ответ: 2128

    1. 28:4=7

      Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 28 : 4 = 7.

    2. 34=3 · 74 · 7=2128

      Домножаем на 7 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  4. 4
    38=?24
    Показать ответ

    Ответ: 924

    1. 24:8=3

      Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 24 : 8 = 3.

    2. 38=3 · 38 · 3=924

      Домножаем на 3 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

  5. 5
    415=?45
    Показать ответ

    Ответ: 1245

    1. 45:15=3

      Дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше прежнего: 45 : 15 = 3.

    2. 415=4 · 315 · 3=1245

      Домножаем на 3 и числитель, и знаменатель: дробь от этого не меняет значения, меняется только запись.

Свой пример

Находим наименьшее общее кратное знаменателей, считаем дополнительный множитель каждой дроби и домножаем на него числитель и знаменатель.

Распознавания по фото здесь нет — дроби вводятся руками.

Частые ошибки

Домножен только знаменатель

34=312

34=912

Знаменатель вырос втрое, а числитель остался прежним — значит и дробь стала втрое меньше: 3/12 — это треть от 3/4. Проверяй так: 9/12 — это и есть 3/4, а 3/12 явно меньше.

К числителю прибавили разницу знаменателей

25=710

25=410

Приведение — это умножение, а не прибавление. Знаменатель вырос в 2 раза (10 : 5 = 2), значит и числитель растёт в 2 раза: 2 · 2 = 4.

Общий знаменатель взят с запасом

56и38→48

56и38→24

48 делится и на 6, и на 8 — ошибки в счёте не будет, но числа вырастут вдвое и ответ придётся сокращать. Наименьшее общее кратное 6 и 8 — это 24: перебери числа, кратные большему знаменателю (8, 16, 24), и возьми первое, которое делится на меньший.